微分とは積分とは

ドライブにたとえると、次のようになります。

車でドライブして目的地に着いたとき、
走行距離と経過した時間を見れば、それまでの平均の速さが求められます。
ただし、途中のある場所での瞬間の速度がどうだったかは、もうわかりません。

けれども、ドライブを始めてからｘだけ時間が経過したときの
出発地点から車までの距離（出発地点から見た車の位置・座標（直線運動の場合）） ｙ が
ｘの関数としてｙ＝ｆ（ｘ）の形に表されている時は、
時刻 ｘ＝ｔ における車の速度はｆ ’（ｔ）として求められます。
時刻ｘにおける車の位置がわかっていれば、その変化率である速度が求められるということです。
言い換えれば、ドライブの途中での車の速度は、ずっとスピードメーターを見続けていなくても、
時刻と位置との関係さえ分かっていれば、微分の計算により求められるということです。
ドライブの全体を表す式があれば、各瞬間の変化の様子がつかめるというのが微分の意味です。

逆に、ドライブ中に時々刻々と変化するスピードメーターの目盛を絶えず観察していれば、
そのデータからドライブ全体の走行距離を求めることができる、というのが積分の意味です。
各瞬間での様子がすべてつかめていれば、全体としての量がどうなるのかがわかる、というのが積分の意味です。
全体の様子が分かっているとき、それをもとにして各点での様子を調べるのが微分、
各点での様子が分かっているとき、それをもとにして全体の様子を調べるのが積分です。